Dynamics of beams as a 1-D continuum // Dinamica della trave come continuo monodimensionale

Corso dottorale
2° semestre

Docenti Antonio Cazzani e Maria Cristina Porcu

 

Corso dottorale

 

Docenti

• Antonio Cazzani, DICAAR, Università degli Studi di Cagliari
• Maria Cristina Porcu, DICAAR, Università degli Studi di Cagliari

Ore: 15

Data d’inizio: 16 Settembre 2024

 

 

 

Sunto del corso

Il corso fornisce le basi per una corretta modellazione analitica del comportamento dinamico di travi ad asse rettilineo (e di strutture costituite da travi monodimensionali, tipicamente telai piani) nell’ambito dell’elasticità lineare. Si tratta di un argomento che raramente trova posto negli attuali corsi istituzionali pur avendo grande interesse modellistico-progettuale, anche in vista di applicazioni legate alla salvaguardia e al ripristino strutturale di costruzioni intelaiate soggette a effetti dinamici (dovuti a folla, traffico, vento, macchinari) e sismici.   

English version

The course provides the basis for the correct modelling of the dynamic behavior of beams with a straight axis (and of structures composed of such beams, like planar frames) in the context of linear elasticity. This topic is now only marginally addressed in standard institutional courses, although it is of great interest for design modelling, also in view of applications related to the preservation and structural restoration of framed buildings under the effect of dynamic (due to crowd, traffic, wind, machines) or seismic loading.

 

Descrizione estesa

Sebbene questo corso sia destinato principalmente agli studenti di dottorato di tutti e tre gli anni del percorso, esso è aperto a chiunque sia interessato agli argomenti trattati. L’obiettivo del corso consiste nel fornire le basi per una corretta modellazione del comportamento dinamico di travi ad asse rettilineo nell’ambito dell’elasticità lineare. A tale scopo, sono considerati come prerequisiti essenziali gli argomenti riguardanti le travi trattati nei corsi di Scienza delle Costruzioni, Teoria delle Strutture e Dinamica delle Strutture.

L’approccio parte dalle equazioni del moto di sistemi elastici a N gradi di libertà e introduce, mediante un passaggio dal discreto al continuo, le equazioni del moto della trave a parametri elastici e inerziali distribuiti, nella doppia veste della formulazione mediante un’equazione integrale (estensione dell’approccio alle flessibilità) e mediante un’equazione differenziale alle derivate parziali (estensione dell’approccio alle rigidezze).

Si considerano dapprima, per diverse condizioni di vincolo, le oscillazioni libere del modello di trave di Euler-Bernoulli (trave EB) nel quale le sezioni rette della trave si mantengono sempre perpendicolari all’asse della trave deformata (ovvero si trascura la deformabilità a taglio) e la massa è distribuita solo lungo l’asse della trave. Si analizzano poi le oscillazioni libere della trave di Rayleigh (trave R), nella quale, pur conservando l’ipotesi di indeformabilità a taglio, si assume però che intervenga anche l’inerzia rotazionale, cioè che la distribuzione di massa si estenda a tutta l’altezza della trave.

Infine, si studiano le oscillazioni libere del modello di Timoshenko-Ehrenfest (trave TE), nel quale oltre all’inerzia rotazionale si aggiunge anche la deformabilità a taglio.

Si considera poi, con riferimento al solo modello di Euler-Bernoulli, il caso di oscillazioni forzate sia a livello di trave isolata che di assemblaggio di travi (trave continua o telaio piano), introducendo il concetto di ricettanza, mediante il quale si formulano le equazioni del moto.

Si passa poi, mediante un approccio di tipo energetico, a studiare metodi numerici di grande utilità nella soluzione pratica di problemi dinamici complessi (quello di Rayleigh-Ritz, quello di Galerkin e quello degli elementi finiti) basati sulla discretizzazione delle equazioni del moto.

L’ultima parte del corso sarà dedicata ad una breve trattazione dell’uso combinato di tecniche analitiche, numeriche e sperimentali per studiare le caratteristiche modali (frequenze proprie e forme modali) ed il comportamento dinamico di una trave continua.

 

Programma sintetico del corso

1. Richiami di dinamica dei sistemi a N gradi di libertà: scrittura delle equazioni del moto mediante le flessibilità e mediante le rigidezze.
2. Estensione dal discreto al continuo: formulazione dell’equazione del moto in forma integrale e in forma differenziale (alle derivate parziali) per il caso della trave EB.
3. Oscillazioni libere della trave EB: frequenze proprie e autofunzioni (forme modali) in corrispondenza di differenti condizioni di vincolo (trave semplicemente appoggiata, trave incastrata a un estremo, trave libera, ecc.).
4. Oscillazioni libere della trave R: frequenze proprie e autofunzioni.
5. Oscillazioni libere della trave TE: frequenze proprie e autofunzioni.
6. Confronto fra gli spettri in frequenza per i tre modelli di travi e individuazione degli ambiti di applicazione.
7. Oscillazioni forzate della trave EB: disaccoppiamento delle equazioni del moto; determinazione dei coefficienti di ricettanza; esempi e applicazioni.
8. Formulazione energetica della dinamica della trave; tecniche di approssimazione mediante discretizzazione; metodi di Rayleigh-Ritz, di Galerkin e degli elementi finiti.
9. Applicazioni numeriche e confronto con risultati sperimentali.

 

English version

Although this course is primarily intended for PhD students from all three years, it is open to anyone interested in this topic. The aim of the course is to provide the basis for the correct modelling of the mechanical behavior of straight beams within the linear elasticity framework. To this aim, the preliminary knowledge of the beams’ behavior provided by the Strength of Materials, Theory of Structures and Dynamics of Structures courses is considered an essential prerequisite.

Starting from the motion equations of multi-degrees-of-freedom elastic systems, a transition from discrete to continuous leads to the motion equations of a straight beam, assumed to be a 1-D continuum, with distributed elastic restoring and inertia forces. Both the integral formulation (i.e. the extension of the compliance approach) and the partial differential formulation (corresponding to the stiffness approach) are explicitly obtained.

Subsequently, the free vibrations of the Euler-Bernoulli (EB) beam are derived for different constraint conditions, under the assumptions that cross-sections are plane and always orthogonal to the deformed beam axis (so that shear strain is not accounted for) and the mass is distributed along the beam axis only. Then, the free vibrations of the Rayleigh (R) beam (where rotational inertia is accounted for) and of the Timoshenko-Ehrenfest (TE) beam (where both shear deformation and rotational inertia are taken into account) are derived.

Next, with reference to the EB model the forced vibrations of a single beam and of a structure composed by simple beams (like a planar frame) are studied, by introducing the receptance concept to write and solve the equation of motion.

By adopting an energy approach, numerical methods, extremely useful in practical applications, are subsequently introduced (Rayleigh-Ritz method, Galerkin method and finite element method) which are based on a discretization of the equation of motion.

The final part of the course deals with the combined use of analytical, numerical and experimental techniques to assess the modal characteristics and study the dynamic response of a continuous beam.

 

Short syllabus

1. Resumé of the motion equations for multi-degrees-of-freedom systems: equation of motion formulated according to the compliance and to the stiffness approach.
2. Transition from discrete to continuous systems: integral form and differential (partial derivatives) form of the EB beam’s equation of motion.
3. Free vibrations of EB beam: natural frequencies and eigenfunctions (modal shapes) for different constraint conditions (simply supported beam, cantilever beam, constraint-free beam, etc.).

1. Free vibrations of R beam: natural frequencies and eigenfunctions.

5. Free vibrations of TE beam: natural frequencies and eigenfunctions.
6. Comparison between the frequency spectra of the above-mentioned beam models and detection of their range of application.
7. Forced vibration of EB beam: modal decoupling of the motion equations; definition of receptance coefficients and their use; examples and applications.
8. Energy formulation to write the beam’s motion equations: numerical approximation techniques based on discretization: Rayleigh-Ritz, Galerkin and finite element methods.
9. Numerical applications and comparison with experimental results.

 

Programma

Lunedì    16/09/2024, Lezione 1: Equazioni del moto della trave (continuo 1-D).

Martedì   17/09/2024, Lezione 2: Oscillazioni libere della trave EB.

Mercoledì  18/09/2024, Lezione 3: Oscillazioni libere delle travi R e TE.

Giovedì      19/09/2024, Lezione 4: Oscillazioni forzate e metodi energetici.

Venerdì      20/09/2024, Lezione 5: Confronto risultati numerico- sperimentali.

 

English version

Monday       16/09/2024, Lecture 1: Equations of motion for a straight beam.

Tuesday       17/09/2024, Lecture 2: Free vibrations of EB beam.

Wednesday  18/09/2024, Lecture 3: Free vibrations of R and TE beams.

Thursday      19/09/2024, Lecture 4: Forced vibrations and energy methods.

Friday          20/09/2024, Lecture 5: Numerical-experimental results comparison.

 

Contatti / Contacts

antonio.cazzani@unica.it

mcporcu@unica.it

mario.spagnuolo@unica.it

 

Modalità di iscrizione

Inviare via e-mail un messaggio ai docenti per la iscrizione al corso.

Il corso si svolgerà in presenza nell’aula Berio (edificio A, piano rialzato) del DICAAR, ingresso di via Marengo 2. Sarà resa possibile la frequenza in remoto su un canale Teams e le lezioni verranno registrate.

 

Registration

Please send a message to the lecturers by e-mail.

The course will be held in presence in the Berio lecture room (building A, mezzanine floor) of DICAAR, via Marengo 2 entrance. Remote attendance will be possible on a Teams channel and the lectures will be recorded.

 

 

Materiali messi a disposizione

Saranno messi a disposizione gli appunti del corso e le presentazioni  preparate dai docenti.

 

Class notes

PDF notes and slides will be available to attendees.

 

Bibliografia e riferimenti Web

1. Viola, E. Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture – volume secondo: Sistemi continui, Pitagora Editrice, Bologna, 2001. (in Italian)
2. Clough, R.W., Penzien, J. Dynamics of structures, McGraw-Hill, New York, 1975
3. Bishop, R.E.D., Johnson, D.C. The mechanics of vibrations, Cambridge University Press, Cambridge (U.K.), 1979.
4. Chopra, A. K. Dynamics of structures – Theory and applications to earthquake engineering, (2^nd), Prentice-Hall, Upper Saddle River (NJ), 2001.
5. Meirovitch, L. Elements of vibration analysis, (2^nd) McGraw-Hill Int’l, Singapore, 1986.
6. Thomson, W.T. Theory of vibration with applications, (3^rd), Allen & Unwin, London, 1988.
7. Humar, J.L. Dynamics of structures, (3^rd), CRC Press, Boca Raton (FL), 2012.
8. Burton, T.D. Introduction to dynamic system analysis, McGraw-Hill Int’l, Singapore, 1994.