Mechanical behaviour of elastic curved and twisted beams: a geometrically exact approach

Corso dottorale
1° semestre
Docenti Antonio Cazzani (DICAAR) e Fernando Fraternali (DICIV, Università degli Studi di Salerno)

 

Corso dottorale
1° semestre

 

Docenti

• Antonio Cazzani, DICAAR, Università degli Studi di Cagliari
• Fernando Fraternali, DICIV, Università degli Studi di Salerno

Ore: 15

Data d’inizio: 17 luglio 2023

 

 

 

 

Sunto del corso

Il corso fornisce le basi per una corretta modellazione del comportamento meccanico di travi ad asse curvo (sia piane, sia sghembe) nell’ambito dell’elasticità lineare. Si tratta di un argomento solo marginalmente affrontato nei corsi istituzionali e di grande interesse modellistico progettuale, anche in vista di applicazioni legate alla salvaguardia e al ripristino strutturale di costruzioni storico-monumentali dove le strutture curve (archi, volte, ecc.) sono di amplissima diffusione.   

 

English version

The course provides the basis for the correct modelling of the mechanical behavior of beams with a curved axis (both planar and twisted) in the context of linear elasticity. This topic is only marginally addressed in standard institutional courses and is of great interest for design modelling, also in view of applications related to the preservation and structural restoration of historical-monumental buildings where curved structures (arches, vaults, etc.) are widely used.

 

Descrizione estesa

Sebbene questo corso sia destinato principalmente agli studenti di dottorato di tutti e tre gli anni del percorso, esso è aperto a chiunque sia interessato agli argomenti trattati. L’obiettivo del corso consiste nel fornire le basi per una corretta modellazione del comportamento meccanico di travi ad asse curvo (sia piane, sia sghembe) nell’ambito dell’elasticità lineare. A tale scopo, sono considerati come prerequisiti essenziali gli argomenti riguardanti le travi trattati nei corsi di Scienza delle costruzioni e Teoria delle strutture. Inoltre, visto il livello del formalismo adottato nella modellazione del comportamento meccanico di travi ad asse curvo, si considerano prerequisiti i concetti di matematica studiati nei corsi di Analisi 1, Analisi 2 e Geometria. Alcuni concetti di base di geometria differenziale saranno richiamati durante le lezioni. Segue il programma sintetico del corso:

1. Richiami di Geometria Differenziale
2. Definizione di trave curva.
3. Equazioni d’equilibrio; Principio dei Lavori Virtuali; Equazioni d’equilibrio locale e condizioni al contorno; Forma scalare delle equazioni d’equilibrio; Sforzi e deformazioni generalizzati.
4. Legame costitutivo; Il problema dei valori al contorno; Limiti dell’estensione della teoria del solido di Saint-Venant per travi con asse a grande curvatura.
5. Il caso piano; Sforzi e deformazioni generalizzati; Equazioni d’equilibrio; Legame costitutivo; Il problema dei valori al contorno: trave di Timoshenko, trave di Euler-Bernoulli.
6. Travi piane con asse a grande curvatura; Legame costitutivo: sforzi normali assiali, sforzi tangenziali e radiali; Il problema dei valori al bordo: trave di Timoshenko, trave di Euler-Bernoulli.
7. Problema elastostatico di archi piani; Archi ad asse circolare; Archi ad asse parabolico
8. Applicazioni numeriche ed esempi.

 

English version

Although this course is primarily intended for PhD students from all three years, it is open to anyone interested in this topic. The aim of the course is to provide the foundations for the correct modelling of the mechanical behavior of beams with a curved axis (both planar and twisted) in the context of linear elasticity. To this aim, the preliminary knowledge of beams provided in “Strength of Materials” and “Theory of Structures” courses are considered essential. Furthermore, given the level of formalism adopted in the modelling of the mechanical behavior of beams with a curved axis, the mathematical concepts studied in Calculus 1, Calculus 2 and Geometry are considered as prerequisites. Some basic concepts of differential geometry will be recalled during the lectures. The concise course program follows:

1. Resumé of Differential Geometry.
2. Definition of curved beam.
3. Equilibrium equations; Principle of Virtual Work; Local equilibrium equations and boundary conditions; Scalar form of equilibrium equations; Generalized stresses and strains.
4. Constitutive equations; The boundary value problem; Limits of the extension of the Saint-Venant solid theory for large curvature beams.
5. The planar case; Generalized forces and deformations; Equations of equilibrium; Constitutive equations; The boundary value problem: Timoshenko beam, Euler-Bernoulli beam.
6. Large curvature planar beams; Constitutive equations: axial normal stress, tangential and radial stresses; The boundary value problem: Timoshenko beam, Euler-Bernoulli beam.
7. Elastostatic problem of plane arches; Circular axis arches; Parabolic axis arches.
8. Numerical applications and examples.

 

Programma

Lunedì           17/07/2023  ore 15:00-18:00, Lezione 1: Equazioni d’equilibrio per travi curve.

Martedì    18/07/2023  ore 15:00-18:00, Lezione 2: Legame costitutivo.

Mercoledì 19/07/2023  ore 09:00-12:00, Lezione 3: Il caso piano.

Mercoledì 19/07/2023  ore 15:00-18:00, Lezione 4: Travi piane con asse a grande curvatura.

Giovedì     20/07/2023  ore 15:00-18:00, Lezione 5: Problema elastostatico di archi piani.

 

English version

Monday         17/07/2023  h. 15:00-18:00, Lecture 1: Equilibrium equations for curved beams.

Tuesday       18/07/2023  h. 15:00-18:00, Lecture 2: Constitutive equations.

Wednesday  19/07/2023  h. 09:00-12:00, Lecture 3: The planar case.

Wednesday  19/07/2023  h. 15:00-18:00, Lecture 4: Large curvature planar beams.

Thursday      20/07/2023 h. 15:00-18:00, Lecture 5: Elastostatic problem of plane arches.

 

 

Contatti / Contacts

antonio.cazzani@unica.it
f.fraternali@unisa.it
mario.spagnuolo@unica.it

 

Modalità di iscrizione

Il corso si svolgerà in presenza nell’aula Berio (edificio A, piano rialzato) del DICAAR, ingresso di via Marengo 2. Sarà resa possibile la frequenza in remoto su un canale Teams e le lezioni verranno registrate. Inviare via e-mail un messaggio ai docenti.

 

Registration

The course will be held in presence in the Berio lecture room (building A, mezzanine floor) of DICAAR, via Marengo 2 entrance. Remote attendance will be possible on a Teams channel and the lectures will be recorded. Please send a message to the lecturers by e-mail.

 

 

Materiali

Saranno messi a disposizione gli appunti preparati dai docenti.

 

Class notes

PDF notes will be available to attendees.

 

 

Bibliografia e riferimenti Web

1. Fraternali, F., Ascione, L. Modellazione geometrica e meccanica delle travi curve e sghembe, CUES, Fisciano, 2012. (in Italian)
2. Love, A. E. H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Cambridge University Press, Cambridge, 1927.
3. Oden, J. T. Mechanics of Elastic Structures, McGraw-Hill, New York, 1967.
4. Benvenuto, E. La Scienza delle Costruzioni e il suo sviluppo storico, Sansoni, Firenze, 1981. (in Italian)
5. Benvenuto, E. An Introduction to the History of Structural Mechanics. Part I: Statics and Resistance of Solids, Springer, New York, 1991.
6. Benvenuto, E. An Introduction to the History of Structural Mechanics. Part II: Vaulted Structures and Elastic Systems, Springer, New York, 1991.
7. Baldacci, R. Scienza delle Costruzioni, Utet, Torino, 1983. (in Italian)
8. Wempner, G. Mechanics of Solids with Applications to Thin Bodies, Sijthoff & Noordoff, Rockville, 1981.
9. Ascione, L., Grimaldi, A. Elementi di Meccanica dei Continui, Liguori, Napoli, 1989. (in Italian)