{"id":3349,"date":"2023-12-12T06:46:26","date_gmt":"2023-12-12T05:46:26","guid":{"rendered":"https:\/\/dottorati.unica.it\/dotticar\/?p=3349"},"modified":"2024-07-15T13:20:51","modified_gmt":"2024-07-15T11:20:51","slug":"dynamics-of-beams-as-a-1-d-continuum-dinamica-della-trave-come-continuo-monodimensionale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/dottorati.unica.it\/dotticar\/dynamics-of-beams-as-a-1-d-continuum-dinamica-della-trave-come-continuo-monodimensionale\/","title":{"rendered":"Dynamics of beams as a 1-D continuum \/\/ Dinamica della trave come continuo monodimensionale"},"content":{"rendered":"

Corso dottorale
\n<\/em>2\u00b0 semestre<\/p>\n

Docenti Antonio Cazzani e Maria Cristina Porcu<\/p>\n

<\/p>\n

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Corso dottorale<\/em><\/strong><\/p>\n

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Docenti<\/h3>\n
    \n
  • Antonio Cazzani, DICAAR, Universit\u00e0 degli Studi di Cagliari<\/li>\n
  • Maria Cristina Porcu, DICAAR, Universit\u00e0 degli Studi di Cagliari<\/li>\n<\/ul>\n

    Ore: 15<\/h3>\n

    Data d\u2019inizio:<\/strong> 16 Settembre 2024<\/p>\n

     <\/p>\n

    \"\"\u00a0<\/strong><\/p>\n

     <\/p>\n

    Sunto del corso<\/strong><\/h3>\n

    Il corso fornisce le basi per una corretta modellazione analitica del comportamento dinamico di travi ad asse rettilineo (e di strutture costituite da travi monodimensionali, tipicamente telai piani) nell’ambito dell’elasticit\u00e0 lineare. Si tratta di un argomento che raramente trova posto negli attuali corsi istituzionali pur avendo grande interesse modellistico-progettuale, anche in vista di applicazioni legate alla salvaguardia e al ripristino strutturale di costruzioni intelaiate soggette a effetti dinamici (dovuti a folla, traffico, vento, macchinari) e sismici.\u00a0 \u00a0<\/strong><\/p>\n

    English version<\/em><\/strong><\/p>\n

    The course provides the basis for the correct modelling of the dynamic behavior of beams with a straight axis (and of structures composed of such beams, like planar frames) in the context of linear elasticity. This topic is now only marginally addressed in standard institutional courses, although it is of great interest for design modelling, also in view of applications related to the preservation and structural restoration of framed buildings under the effect of dynamic (due to crowd, traffic, wind, machines) or seismic loading.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Descrizione estesa<\/h3>\n

    Sebbene questo corso sia destinato principalmente agli studenti di dottorato di tutti e tre gli anni del percorso, esso \u00e8 aperto a chiunque sia interessato agli argomenti trattati. L\u2019obiettivo del corso consiste nel fornire le basi per una corretta modellazione del comportamento dinamico di travi ad asse rettilineo nell’ambito dell’elasticit\u00e0 lineare. A tale scopo, sono considerati come prerequisiti essenziali gli argomenti riguardanti le travi trattati nei corsi di Scienza delle Costruzioni<\/em>, Teoria delle Strutture<\/em> e Dinamica delle Strutture<\/em>.<\/p>\n

    L\u2019approccio parte dalle equazioni del moto di sistemi elastici a N<\/em> gradi di libert\u00e0 e introduce, mediante un passaggio dal discreto al continuo, le equazioni del moto della trave a parametri elastici e inerziali distribuiti, nella doppia veste della formulazione mediante un\u2019equazione integrale (estensione dell\u2019approccio alle flessibilit\u00e0) e mediante un\u2019equazione differenziale alle derivate parziali (estensione dell\u2019approccio alle rigidezze).<\/p>\n

    Si considerano dapprima, per diverse condizioni di vincolo, le oscillazioni libere del modello di trave di Euler-Bernoulli (trave EB) nel quale le sezioni rette della trave si mantengono sempre perpendicolari all\u2019asse della trave deformata (ovvero si trascura la deformabilit\u00e0 a taglio) e la massa \u00e8 distribuita solo lungo l\u2019asse della trave. Si analizzano poi le oscillazioni libere della trave di Rayleigh (trave R), nella quale, pur conservando l\u2019ipotesi di indeformabilit\u00e0 a taglio, si assume per\u00f2 che intervenga anche l\u2019inerzia rotazionale, cio\u00e8 che la distribuzione di massa si estenda a tutta l\u2019altezza della trave.<\/p>\n

    Infine, si studiano le oscillazioni libere del modello di Timoshenko-Ehrenfest (trave TE), nel quale oltre all\u2019inerzia rotazionale si aggiunge anche la deformabilit\u00e0 a taglio.<\/p>\n

    Si considera poi, con riferimento al solo modello di Euler-Bernoulli, il caso di oscillazioni forzate sia a livello di trave isolata che di assemblaggio di travi (trave continua o telaio piano), introducendo il concetto di ricettanza, mediante il quale si formulano le equazioni del moto.<\/p>\n

    Si passa poi, mediante un approccio di tipo energetico, a studiare metodi numerici di grande utilit\u00e0 nella soluzione pratica di problemi dinamici complessi (quello di Rayleigh-Ritz, quello di Galerkin e quello degli elementi finiti) basati sulla discretizzazione delle equazioni del moto.<\/p>\n

    L\u2019ultima parte del corso sar\u00e0 dedicata ad una breve trattazione dell\u2019uso combinato di tecniche analitiche, numeriche e sperimentali per studiare le caratteristiche modali (frequenze proprie e forme modali) ed il comportamento dinamico di una trave continua.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Programma sintetico del corso<\/strong><\/h4>\n
      \n
    1. Richiami di dinamica dei sistemi a N<\/em> gradi di libert\u00e0: scrittura delle equazioni del moto mediante le flessibilit\u00e0 e mediante le rigidezze.<\/li>\n
    2. Estensione dal discreto al continuo: formulazione dell\u2019equazione del moto in forma integrale e in forma differenziale (alle derivate parziali) per il caso della trave EB.<\/li>\n
    3. Oscillazioni libere della trave EB: frequenze proprie e autofunzioni (forme modali) in corrispondenza di differenti condizioni di vincolo (trave semplicemente appoggiata, trave incastrata a un estremo, trave libera, ecc.).<\/li>\n
    4. Oscillazioni libere della trave R: frequenze proprie e autofunzioni.<\/li>\n
    5. Oscillazioni libere della trave TE: frequenze proprie e autofunzioni.<\/li>\n
    6. Confronto fra gli spettri in frequenza per i tre modelli di travi e individuazione degli ambiti di applicazione.<\/li>\n
    7. Oscillazioni forzate della trave EB: disaccoppiamento delle equazioni del moto; determinazione dei coefficienti di ricettanza; esempi e applicazioni.<\/li>\n
    8. Formulazione energetica della dinamica della trave; tecniche di approssimazione mediante discretizzazione; metodi di Rayleigh-Ritz, di Galerkin e degli elementi finiti.<\/li>\n
    9. Applicazioni numeriche e confronto con risultati sperimentali.<\/li>\n<\/ol>\n

       <\/p>\n

      English version<\/em><\/strong><\/p>\n

      Although this course is primarily intended for PhD students from all three years, it is open to anyone interested in this topic. The aim of the course is to provide the basis for the correct modelling of the mechanical behavior of straight beams within the linear elasticity framework. To this aim, the preliminary knowledge of the beams\u2019 behavior provided by the Strength of Materials<\/em>, Theory of Structures<\/em> and Dynamics of Structures<\/em> courses is considered an essential prerequisite.<\/p>\n

      Starting from the motion equations of multi-degrees-of-freedom elastic systems, a transition from discrete to continuous leads to the motion equations of a straight beam, assumed to be a 1-D continuum, with distributed elastic restoring and inertia forces. Both the integral formulation (i.e. the extension of the compliance approach) and the partial differential formulation (corresponding to the stiffness approach) are explicitly obtained.<\/p>\n

      Subsequently, the free vibrations of the Euler-Bernoulli (EB) beam are derived for different constraint conditions, under the assumptions that cross-sections are plane and always orthogonal to the deformed beam axis (so that shear strain is not accounted for) and the mass is distributed along the beam axis only. Then, the free vibrations of the Rayleigh (R) beam (where rotational inertia is accounted for) and of the Timoshenko-Ehrenfest (TE) beam (where both shear deformation and rotational inertia are taken into account) are derived.<\/p>\n

      Next, with reference to the EB model the forced vibrations of a single beam and of a structure composed by simple beams (like a planar frame) are studied, by introducing the receptance concept to write and solve the equation of motion.<\/p>\n

      By adopting an energy approach, numerical methods, extremely useful in practical applications, are subsequently introduced (Rayleigh-Ritz method, Galerkin method and finite element method) which are based on a discretization of the equation of motion.<\/p>\n

      The final part of the course deals with the combined use of analytical, numerical and experimental techniques to assess the modal characteristics and study the dynamic response of a continuous beam.<\/p>\n

       <\/p>\n

      Short syllabus<\/strong><\/h4>\n
        \n
      1. Resum\u00e9 of the motion equations for multi-degrees-of-freedom systems: equation of motion formulated according to the compliance and to the stiffness approach.<\/li>\n
      2. Transition from discrete to continuous systems: integral form and differential (partial derivatives) form of the EB beam\u2019s equation of motion.<\/li>\n
      3. Free vibrations of EB beam: natural frequencies and eigenfunctions (modal shapes) for different constraint conditions (simply supported beam, cantilever beam, constraint-free beam, etc.).<\/li>\n<\/ol>\n
          \n
        1. Free vibrations of R beam: natural frequencies and eigenfunctions.<\/li>\n<\/ol>\n
            \n
          1. Free vibrations of TE beam: natural frequencies and eigenfunctions.<\/li>\n
          2. Comparison between the frequency spectra of the above-mentioned beam models and detection of their range of application.<\/li>\n
          3. Forced vibration of EB beam: modal decoupling of the motion equations; definition of receptance coefficients and their use; examples and applications.<\/li>\n
          4. Energy formulation to write the beam\u2019s motion equations: numerical approximation techniques based on discretization: Rayleigh-Ritz, Galerkin and finite element methods.<\/li>\n
          5. Numerical applications and comparison with experimental results.<\/li>\n<\/ol>\n

             <\/p>\n

            Programma<\/h3>\n

            Luned\u00ec\u00a0 \u00a0\u00a016\/09\/2024, Lezione 1: Equazioni del moto della trave (continuo 1-D).<\/p>\n

            Marted\u00ec\u00a0 \u00a017\/09\/2024, Lezione 2: Oscillazioni libere della trave EB.<\/p>\n

            Mercoled\u00ec\u00a0 18\/09\/2024, Lezione 3: Oscillazioni libere delle travi R e TE.<\/p>\n

            Gioved\u00ec\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0\u00a019\/09\/2024, Lezione 4: Oscillazioni forzate e metodi energetici.<\/p>\n

            Venerd\u00ec\u00a0 \u00a0 \u00a0 20\/09\/2024, Lezione 5: Confronto risultati numerico- sperimentali.<\/p>\n

             <\/p>\n

            English version<\/em><\/strong><\/p>\n

            Monday\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a016\/09\/2024, Lecture 1: Equations of motion for a straight beam.<\/p>\n

            Tuesday\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a017\/09\/2024, Lecture 2: Free vibrations of EB beam.<\/p>\n

            Wednesday\u00a0 18\/09\/2024, Lecture 3: Free vibrations of R and TE beams.<\/p>\n

            Thursday\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a019\/09\/2024, Lecture 4: Forced vibrations and energy methods.<\/p>\n

            Friday\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 20\/09\/2024, Lecture 5: Numerical-experimental results comparison.<\/p>\n

            \u00a0<\/strong><\/p>\n

            Contatti \/ Contacts<\/strong><\/h3>\n

            antonio.cazzani@unica.it<\/u><\/p>\n

            mcporcu@unica.it<\/u><\/p>\n

            mario.spagnuolo@unica.it<\/u><\/p>\n

             <\/p>\n

            Modalit\u00e0 di iscrizione <\/strong><\/h3>\n

            Inviare via e-mail un messaggio ai docenti per la iscrizione al corso.<\/p>\n

            Il corso si svolger\u00e0 in presenza nell’aula Berio (edificio A, piano rialzato) del DICAAR, ingresso di via Marengo 2. Sar\u00e0 resa possibile la frequenza in remoto su un canale Teams e le lezioni verranno registrate.<\/p>\n

            \u00a0<\/strong><\/p>\n

            Registration<\/strong><\/p>\n

            Please send a message to the lecturers by e-mail.<\/p>\n

            The course will be held in presence in the Berio lecture room (building A, mezzanine floor) of DICAAR, via Marengo 2 entrance. Remote attendance will be possible on a Teams channel and the lectures will be recorded.<\/p>\n

            \u00a0<\/strong><\/p>\n

            \u00a0<\/strong><\/p>\n

            Materiali messi a disposizione <\/strong><\/h3>\n

            Saranno messi a disposizione gli appunti del corso e le presentazioni\u00a0 preparate dai docenti.<\/p>\n

             <\/p>\n

            Class notes<\/strong><\/p>\n

            PDF notes and slides will be available to attendees.<\/p>\n

             <\/p>\n

            Bibliografia e riferimenti Web<\/h3>\n
              \n
            1. Viola, E. Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture \u2013 volume secondo: Sistemi continui<\/em>, Pitagora Editrice, Bologna, 2001. (in Italian)<\/em><\/li>\n
            2. Clough, R.W., Penzien, J. Dynamics of structures<\/em>, McGraw-Hill, New York, 1975<\/li>\n
            3. Bishop, R.E.D., Johnson, D.C. The mechanics of vibrations<\/em>, Cambridge University Press, Cambridge (U.K.), 1979.<\/li>\n
            4. Chopra, A. K. Dynamics of structures \u2013 Theory and applications to earthquake engineering<\/em>, (2nd<\/sup>), Prentice-Hall, Upper Saddle River (NJ), 2001.<\/li>\n
            5. Meirovitch, L. Elements of vibration analysis<\/em>, (2nd<\/sup>) McGraw-Hill Int\u2019l, Singapore, 1986.<\/li>\n
            6. Thomson, W.T. Theory of vibration with applications<\/em>, (3rd<\/sup>), Allen & Unwin, London, 1988.<\/li>\n
            7. Humar, J.L. Dynamics of structures<\/em>, (3rd<\/sup>), CRC Press, Boca Raton (FL), 2012.<\/li>\n
            8. Burton, T.D. Introduction to dynamic system analysis<\/em>, McGraw-Hill Int\u2019l, Singapore, 1994.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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